Question

如圖甲，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，E，D分別為AB，AC靠近B，C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為邊BC邊的中點(diǎn)，線段AG交線段ED于點(diǎn)F．將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB，AC，AG，形成如圖乙所示的幾何體．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面AFG
（Ⅱ）求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由圖形折疊前后的特點(diǎn)可知DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，由線面垂直的判定和性質(zhì)定理，即可得證；
（Ⅱ）由面面垂直的性質(zhì)定理，得到AF⊥平面BCDE，再由棱錐的體積公式即可得到答案．

解答： （Ⅰ）證明：在圖甲中，由△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，
E，D分別為AB，AC靠近B，C的三等分點(diǎn)，
點(diǎn)G為邊BC邊的中點(diǎn)，得
DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，
在圖乙中仍有，DE⊥AF，DE⊥GF，且AF∩GF=F，
∴DE⊥平面AFG，
∵ED∥BC，∴BC⊥平面AFG；
（Ⅱ）解：∵平面AED⊥平面BCDE，AF⊥ED，
∴AF⊥平面BCDE，
∴V_A-BCDE=

1

3

AF•S_BCDE=

1

3

×

3

2

×4×（

3

4

×36-

3

4

×16）=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理，以及面面垂直的性質(zhì)定理，同時(shí)考查棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．