Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2，x＞m}\\{{x^2}+4x+4，x≤m}\end{array}}\right.$的圖象與直線y=x恰有三個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． [2，+∞）
• C． [-1，2]
• D． [-1，2）

Answer 1

分析 由題意可得只要滿足直線y=x和射線y=2（x＞m）有一個交點，而且直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的兩個交點即可，畫圖便知，直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象的兩個交點為（-2，-2）（-1，-1），由此可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意可得射線y=x與函數(shù)f（x）=2（x＞m）有且只有一個交點．
而直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2，至多兩個交點，
題目需要三個交點，則只要滿足直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象有兩個交點即可，
畫圖便知，y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象交點為A（-2，-2）、B（-1，-1），
故有 m≥-1．
而當(dāng)m≥2時，直線y=x和射線y=2（x＞m）無交點，故實數(shù)m的取值范圍是[-1，2），
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．