Question

7．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
（1）哪些棱所在直線與直線BA₁是異面直線？
（2）哪些棱所在的直線與AA₁垂直？
（3）求A₁B與B₁D₁所成角；
（4）求AC與BD₁所成角．

Answer 1

分析 （1）根據異面直線的定義，不同在任一平面內的兩直線互為異面直線，進行尋找異面直線即可；
（2）根據線面垂直的性質定理即可解題；
（3）先把異面直線轉化為共面直線再做求角；
（4）連接BD交AC與點O，根據線面垂直的判定定理可知AC⊥面D₁DB，而D₁B?面D₁DB，則AC⊥D₁B，從而可求出異面直線BD₁與AC所成角的余弦值．

解答 解：（1）根據異面直線的定義進行判定可知
與直線BA₁成異面直線有D₁C₁、D₁D、C₁C、C₁B₁、DC、AD．
（2）由題意知AA₁⊥面ABCD、AA₁⊥面A₁B₁C₁D₁，
∴由線面垂直點的性質定理知與AA₁垂直的直線有：AB，BC，CD，DA，A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁，D₁A₁，
（3）∵此幾何體為正方體，
∴BD∥B₁D₁，
∴AB₁與BD所成的角等于AB₁與B₁D₁所成的角，
又∵A₁D=BD，
∴AB₁與BD所成的角為∠A₁BD=45°
∴A₁B與B₁D₁所成角等于45°．
（4）連接BD交AC與點O，
∵D₁D⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴D₁D⊥AC，而AC⊥BD，D₁D∩BD=D，
∴AC⊥面D₁DB，
又∵D₁B?面D₁DB，
∴AC⊥D₁B，
即直線BD₁與AC所成角為90°．

點評 本題主要考查了異面直線的判定，以及異面直線及其所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．