Question

四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a．
（I）若M是底面ABCD的一個動點，且滿足|MB|=|MS|，求點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡；
（II）試問在線段SD上是否存在點E，使二面角C-AE-D的大小為60°？若存在，確定點E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件及圖形，本題中出現(xiàn)了同一點出發(fā)的三個線段兩兩垂直，故可以建立空間坐標系，利用向量解決問題，以D為原點，

DA

、

DC

、

DS

的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，給出各點的坐標
（1）設(shè)M（x，y，0），則由|MB|=|MS|得

(x-a)2+(y-a)2

=

x2+y2+a2

，整理即可得到點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡；
（2）假設(shè)存在，設(shè)

DE

=λ

DS

(0≤λ≤1)，

DC

=（0，a，0）為平面ADE的一個法向量，設(shè)平面ACE的一個法向量為

n

=（x，y，z），用引入的參數(shù)λ表示出平面ACE的一個法向量為

n

，
再由二面角的大小是60°，建立方程求出參數(shù)λ的值，然后根據(jù)參數(shù)的值的范圍確定出點E的位置，

解答：解：（1）以D為原點，

DA

、

DC

、

DS

的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則B（a，a，0），S（0，0，a），…（2分）
設(shè)M（x，y，0），則由|MB|=|MS|得

(x-a)2+(y-a)2

=

x2+y2+a2

…（4分）
化簡得x+y-

a

2

=0，所以點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為△ACD平行于邊AC的中位線．…（6分）
（2）假設(shè)存在，設(shè)

DE

=λ

DS

(0≤λ≤1)，

DC

=（0，a，0）為平面ADE的一個法向量…（8分）
設(shè)平面ACE的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n

•

EA

=0，

n

•

EC

=0
即

x-λz=0 y-λz=0

，取z=1，得

n

=（λ，λ，1），…（10分）
所以cos600=

| DC • n |

| DC |•| n |

=

|λ|

2λ2+1

，又0≤λ≤1，解得λ=

2

2

，
故在線段SD上存在點E，

DE

=

2

2

DS

，使二面角C-AE-D的大小為60⁰．…（13分）

點評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何證明題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步驟，向量中的方程與立體幾何中位置關(guān)系的對應(yīng)，如數(shù)量積為0與垂直的對應(yīng)，向量的共線與平行的對應(yīng)，向量夾角與線線角，線面角，面面角的對應(yīng)，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，考查了待定系數(shù)建立方程的技巧，用向量解決立體幾何問題的方法，本題知識性綜合性強，考查空間想像能力，推理判斷能力及轉(zhuǎn)化的能力，本題運算量大，且多是符號運算，解題時要嚴謹．