Question

已知f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1．
（1）求f（

π

12

）的值；
（2）若x∈[-

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）首先對函數(shù)關系式進行恒等變換，把函數(shù)關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用函數(shù)的關系式求出函數(shù)的值．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的關系式，進一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1．
=

3

sin2x+cos2x
=2sin(2x+

π

6

)，
∴f(

π

12

)=2sin(

π

6

+

π

6

)=2sin

π

3

=

3

，
（2）∵-

π

12

≤x≤

π

2

，
∴-

π

6

≤2x≤π，
∴0≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴-1≤2sin(2x+

π

6

)≤2，
∴f（x）的值域為[-1，2]．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，利用三角函數(shù)的關系式求出函數(shù)的值，利用三角函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．屬于基礎題型．