Question

函數(shù)f（x）=cos2x-2

3

sinxcosx下列命題中正確的是（　　）
（1）若存在x₁，x₂有x₁-x₂=z時(shí)，f（x₁）=f（x₂）成立
（2）f（x）在[-

π

6

，

π

3

]是單調(diào)遞增
（3）函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（

π

12

，0）成中心對(duì)稱圖象
（4）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

5π

12

個(gè)單位后將與y=2sin2x重合．

• A、（1）（2）
• B、（ 1）（3）
• C、（ 1）（2）（3）
• D、（1）（3）（4）

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先把函數(shù)的關(guān)系式通過(guò)恒等變換變換成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期，對(duì)稱中心，及單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：f（x）=cos2x-2

3

sinxcosx
=cos2x-

3

sin2x
=2cos(2x+

π

3

)，
所以函數(shù)f（x）的周期為：T=

2π

2

=π，
①所以：若存在x₁，x₂有x₁-x₂=π時(shí)，
所以：x₁=π-x₂
則：f（x₁）=f（x₂）成立．
②令：-π+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ（k∈Z）
解得：-

2π

3

+kπ≤x≤kπ-

π

6

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[-

2π

3

+kπ，kπ-

π

6

]
所以：f（x）在[-

π

6

，

π

3

]是單調(diào)遞增不成立．
③令：2x+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：x=

kπ

2

+

π

12

當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（

π

12

，0）成中心對(duì)稱圖象．
④將函數(shù)的圖象向左平移

5π

12

得到y(tǒng)=2cos[2(x+

5π

12

)+

π

3

]=-2sin2x
故與y=2sin2x重合相矛盾．
則：（1）和（3）正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間周期，及函數(shù)圖象的平移問題，屬于基礎(chǔ)題型．