Question

以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標為（2

2

，

5π

4

），曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ．
（1）寫出點P的直角坐標及曲線C的普通方程；
（2）過P的直線l與曲線C交于A，B兩點，若|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，求直線l的方程．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,等比數(shù)列的通項公式

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出；
（2）可知直線l的斜率存在，設直線l的參數(shù)方程為

x=-2+tcosα y=-2+tsinα

，（t為參數(shù)）．點A，B的參數(shù)分別為t₁，t₂．代入圓的方程可得：t²-（8cosα+4sinα）t+16=0，
由|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，可得|AB|²=|PA|•|PB|，(t1+t2)2-4t1t2=t₁t₂，把根與系數(shù)的關系代入即可得出．

解答： 解：（1）∵P點的極坐標為（2

2

，

5π

4

），∴x_P=2

2

cos

5π

4

=-2，y_P=2

2

sin

5π

4

=-2，∴P（-2，-2）；
曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，可得直角坐標方程：x²+y²=4x．
（2）可知直線l的斜率存在，設直線l的參數(shù)方程為

x=-2+tcosα y=-2+tsinα

，（t為參數(shù)）．
點A，B的參數(shù)分別為t₁，t₂．
代入圓的方程可得：t²-（8cosα+4sinα）t+16=0，
∴t₁+t₂=8cosα+4sinα，t₁t₂=16，
|PA|=|t₁|，|AB|=|t₁-t₂|，|PB|=|t₂|，
∵|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，
∴|AB|²=|PA|•|PB|，
∴(t1+t2)2-4t1t2=t₁t₂，
∴（8cosα+4sinα）²=5×16，
化為3cos²α+4sinαcosα=4，
與sin²α+cos²α=1聯(lián)立解得：sin2α=

1

5

，cos2α=

4

5

，
∴tan²α=

1

4

，
由題意可�。�tanα=

1

2

，
∴直線l的方程為：y+2=

1

2

(x+2)，化為x-2y-2=0．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數(shù)方程的應用、同角三角函數(shù)基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．