Question

10．如圖，我海監(jiān)船在D島海域例行維權(quán)巡航，某時刻航行至A處，此時測得其北偏東30°方向與它相距20海里的B處有一外國船只，且D島位于海監(jiān)船正東18海里處．
（1）求此時該外國船只與D島的距離；
（2）觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方航行．為了將該船攔截在離D島12海里的E處（E在B的正南方向），不讓其進(jìn)入D島12海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到0.1°，速度精確到0.1海里/小時）．

Answer 1

分析 （1）依題意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；
（2）法一、過點B作BH⊥AD于點H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，進(jìn)一步得到sin∠EAH，則∠EAH可求，求出外國船只到達(dá)E處的時間t，由$v≥\frac{AE}{t}$求得速度的最小值．
法二、建立以點A為坐標(biāo)原點，AD為x軸，過點A往正北作垂直的y軸．可得A，D，B的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過t小時外國船到達(dá)點$E（10，10\sqrt{3}-4t）$，結(jié)合ED=12，得$E（10，4\sqrt{5}）$，列等式求得t，則$tan∠EAD=\frac{EH}{AH}=\frac{{4\sqrt{5}}}{10}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$∠EAD=arctan\frac{{2\sqrt{5}}}{5}≈{41.81°}$，再由$v≥\frac{AE}{t}$求得速度的最小值．

解答 解：（1）依題意，在△ABD中，∠DAB=60°，
由余弦定理得DB²=AD²+AB²-2AD•AB•cos60°=18²+20²-2×18×15×cos60°=364，
∴$DB=2\sqrt{91}$，
即此時該外國船只與D島的距離為$2\sqrt{91}$海里；
（2）法一、過點B作BH⊥AD于點H，
在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD-AH=8，
以D為圓心，12為半徑的圓交BH于點E，連結(jié)AE、DE，
在Rt△DEH中，HE=$\sqrt{E{D}^{2}-H{D}^{2}}=4\sqrt{5}$，∴$BE=10\sqrt{3}-4\sqrt{5}$，
又AE=$\sqrt{A{H}^{2}+H{E}^{2}}=6\sqrt{5}$，
∴sin∠EAH=$\frac{HE}{AE}=\frac{4\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=\frac{2}{3}$，則$∠EAH=arcsin\frac{2}{3}$≈41.81°．
外國船只到達(dá)點E的時間$t=\frac{BE}{4}=\frac{{5\sqrt{3}-2\sqrt{5}}}{2}≈2.09$（小時）．
∴海監(jiān)船的速度$v≥\frac{AE}{t}=\frac{{6\sqrt{5}}}{{\frac{{5\sqrt{3}-2\sqrt{5}}}{2}}}≈6.4$（海里/小時）．
又90°-41.81°=48.2°，
故海監(jiān)船的航向為北偏東48.2°，速度的最小值為6.4海里/小時．
法二、建立以點A為坐標(biāo)原點，AD為x軸，過點A往正北作垂直的y軸．
則A（0，0），D（18，0），$B（10，10\sqrt{3}）$，設(shè)經(jīng)過t小時外國船到達(dá)點$E（10，10\sqrt{3}-4t）$，
又ED=12，得$E（10，4\sqrt{5}）$，此時$t=\frac{{10\sqrt{3}-4\sqrt{5}}}{4}≈2.09$（小時）．
則$tan∠EAD=\frac{EH}{AH}=\frac{{4\sqrt{5}}}{10}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$∠EAD=arctan\frac{{2\sqrt{5}}}{5}≈{41.81°}$，
∴監(jiān)測船的航向東偏北41.81°．
∴海監(jiān)船的速度$v≥\frac{AE}{t}=\frac{{6\sqrt{5}}}{{\frac{{10\sqrt{3}-4\sqrt{5}}}{4}}}≈6.4$（海里/小時）．

點評 本題是應(yīng)用題，考查簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬中檔題．