Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=lg（x+m）（m∈R）；
（1）當(dāng)m=2時，解不等式$f（\frac{1}{x}）＞1$；
（2）若f（0）=1，且$f（x）={（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）^x}+λ$在閉區(qū)間[2，3]上有實數(shù)解，求實數(shù)λ的范圍；
（3）如果函數(shù)f（x）的圖象過點（98，2），且不等式f[cos（2ⁿx）]＜lg2對任意n∈N均成立，求實數(shù)x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)的運算解不等式即可．
（2）根據(jù)f（0）=1，求f（x）的解析式，根據(jù)$f（x）={（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）^x}+λ$在閉區(qū)間[2，3]上有實數(shù)解，分離λ，可得λ=lg（x+10）-$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{x}$，令F（x）=lg（x+10）-$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{x}$，求在閉區(qū)間[2，3]上的值域即為λ的范圍．
（3）函數(shù)f（x）的圖象過點（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2ⁿx）]＜lg2轉(zhuǎn)化為lg（2+cos（2ⁿx））＜lg2轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{2+cos（{2}^{n}x）＞0}\\{cos（{2}^{n}x）＜0}\end{array}\right.$，求解x，又∵2+x＞0，即x＞-2和n∈N．討論k的范圍可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=lg（x+m）（m∈R）；
（1）當(dāng)m=2時，f（x）=lg（x+2）
那么：不等式$f（\frac{1}{x}）＞1$；即lg（$\frac{1}{x}$+2）＞lg10，
可得：$\frac{1}{x}+2＞10$，且$\frac{1}{x}+2＞0$
解得：$0＜x＜\frac{1}{8}$．
∴不等式的解集為{x|$0＜x＜\frac{1}{8}$}
（2）∵f（0）=1，可得m=10．
∴f（x）=lg（x+10）
$f（x）={（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）^x}+λ$，即lg（x+10）=$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{x}+λ$在閉區(qū)間[2，3]上有實數(shù)解，
可得λ=lg（x+10）-$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{x}$
令F（x）=lg（x+10）-$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{x}$，求在閉區(qū)間[2，3]上的值域．
根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的性質(zhì)可知：F（x）是增函數(shù)，
∴F（x）在閉區(qū)間[2，3]上的值域為[lg12-$\frac{1}{2}$，lg13-$\frac{\sqrt{2}}{4}$]
故得實數(shù)λ的范圍是[lg12-$\frac{1}{2}$，lg13-$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．
（3）∵函數(shù)f（x）的圖象過點（98，2），
則有：2=lg（98+m）
∴m=2．
故f（x）=lg（2+x）
那么：不等式f[cos（2ⁿx）]＜lg2轉(zhuǎn)化為lg（2+cos（2ⁿx））＜lg2
即cos（2ⁿx）＜0對n∈N均成立，
若x是滿足條件的實數(shù)，則有cosx≤-$\frac{1}{4}$，
因為，若-$\frac{1}{4}$＜cosx＜0，則cos2x=2cos²x-1＜-$\frac{7}{8}$，則cos4x=2cos²2x-1＞0，
所以必有cos（2ⁿx）≤-$\frac{1}{4}$；
得|cos（2ⁿx）-$\frac{1}{2}$|≥$\frac{3}{4}$，又|cos2x+$\frac{1}{2}$|=2|cosx+$\frac{1}{2}$||cosx-$\frac{1}{2}$|≥$\frac{3}{2}$|cosx+$\frac{1}{2}$|，
得|cosx+$\frac{1}{2}$|≤$\frac{2}{3}$|cos2x+$\frac{1}{2}$|，重復(fù)運用得到|cosx+$\frac{1}{2}$|≤…≤$（\frac{2}{3}）^{n}$|cos（2ⁿx）+$\frac{1}{2}$|＜$（\frac{2}{3}）^{n}$
n為自然數(shù)，∴cosx+$\frac{1}{2}$=0，
級x=2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
驗證，當(dāng)x=2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z時，有cos（2ⁿx）=-$\frac{1}{2}$，滿足題意．
所以，x的取值范圍為{x|x=2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z}

點評 本題考查了對數(shù)的性質(zhì)及其運算以及不等式恒成立的問題在對數(shù)與三角函數(shù)中的運用．有點難度．