Question

1．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-2），斜率為1的直線l過(guò)它的右焦點(diǎn)F，且與橢圓相交于B、P兩點(diǎn)．求：
（1）橢圓C的方程；
（2）以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且過(guò)點(diǎn)P的拋物線方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=2，求得直線l的方程，代入B的坐標(biāo)，可得c=2，再由a，b，c的關(guān)系，可得a，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（2）由直線方程y=x-2代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，再設(shè)過(guò)P的拋物線的方程為y²=mx或x²=ny，代入P的坐標(biāo)，解方程可得m，n，進(jìn)而得到拋物線的方程．

解答 解：（1）由題意可得b=2，
設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0），設(shè)直線l的方程為y=x-c，
由題意可得0-c=-2，解得c=2，
即有a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由直線方程y=x-2，代入橢圓方程，可得
3x²-8x=0，
解得x=0或$\frac{8}{3}$，
可得P（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$），
設(shè)過(guò)P的拋物線的方程為y²=mx或x²=ny，
即有$\frac{4}{9}$=$\frac{8}{3}$m，或$\frac{64}{9}$=$\frac{2}{3}$n，
解得m=$\frac{1}{6}$或n=$\frac{32}{3}$．
則所求拋物線的方程為y²=$\frac{1}{6}$x或x²=$\frac{32}{3}$y．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和拋物線的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題，