Question

已知曲線C1：（為參數(shù)），曲線C2：（t為參數(shù)）．

（1）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若把C1，C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來的一半，分別得到曲線．寫出的參數(shù)方程．與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說明你的理由．

 

Answer 1

（1）的普通方程為，的普通方程為，所以與只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同．

【解析】

試題分析：本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，利用參數(shù)方程中參數(shù)將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程，判斷圖形形狀，再利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系；第二問，先將原和的縱坐標(biāo)壓縮為原來的一半，得到曲線和的參數(shù)方程，再轉(zhuǎn)化成普通方程得到直線和橢圓，2個(gè)方程聯(lián)立，消參，利用判別式判斷有幾個(gè)交點(diǎn)．

試題解析：（1）是圓，是直線．

的普通方程為，圓心，半徑．

的普通方程為． 2分

因?yàn)閳A心到直線的距離為，

所以與只有一個(gè)公共點(diǎn)． 4分

（2）壓縮后的參數(shù)方程分別為

：（為參數(shù)）； ：（t為參數(shù)）．

化為普通方程為：：，：， 6分

聯(lián)立消元得，

其判別式， 7分

所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同．

考點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系．