Question

9．設(shè)全集U={（x，y）|x，y∈R}，$P=\left\{{（x，y）|\left\{{\begin{array}{l}{3x+4y-12＞0}\\{2x-y-8＜0}\\{x-2y+6＞0}\end{array}，x，y∈R}\right.}\right\}$Q={（x，y）|x²+y²≤r²，r∈R⁺}，若Q⊆∁_UP恒成立，則實數(shù)r的最大值是$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 確定P，Q對應(yīng)的區(qū)域，根據(jù)Q⊆C_UP恒成立，可得在Q對應(yīng)區(qū)域內(nèi)的點一定在P對應(yīng)的區(qū)域外部，再分析找到臨界狀態(tài)，列出求參數(shù)r的方程解出即可．

解答 解：P所對應(yīng)的區(qū)域為圖中陰影部分，
Q對應(yīng)的區(qū)域為以原點為圓心以r為半徑的圓的內(nèi)部（包括邊界）．
又Q⊆C_UP恒成立
所以在Q對應(yīng)區(qū)域內(nèi)的點一定在P對應(yīng)的區(qū)域外部，
所以當(dāng)圓與直線3x+4y-12=0相切時，半徑r最大，
此時r=$\frac{12}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{12}{5}$．
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點評 本題是線性規(guī)劃和解析幾何中圓的知識相聯(lián)系的一道綜合題，解答時要充分利用好數(shù)形結(jié)合的思想對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．