Question

3．已知f（x）是定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，若對任意的x∈（0，+∞），都有$f[{f（x）+{{log}_{\frac{1}{3}}}x}]=4$，且方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜a≤5
• B． a＜5
• C． 0＜a＜5
• D． a≥5

Answer 1

分析 由題設(shè)知必存在唯一的正實數(shù)a，滿足f（x）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=a，f（a）=4，f（a）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a，故4+log ${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a，log${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a-4，a=（$\frac{1}{3}$）^a-4，左增，右減，有唯一解a=3，故f（x）+log ${\;}_{\frac{1}{3}}$x=a=3，由題意可得|log${\;}_{\frac{1}{3}}$x|=x³-6x²+9x-4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，討論g（x）=x³-6x²+9x-4+a的單調(diào)性和最值，分別畫出作出y=|log${\;}_{\frac{1}{3}}$x|，和y=x³-6x²+9x-4的圖象，通過平移即可得到a的范圍．

解答 解：∵定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x）
滿足f[f（x）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$x]=4，
∴必存在唯一的正實數(shù)a，
滿足f（x）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=a，f（a）=4，①
∴f（a）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a，②
由①②得：4+log${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a，log${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a-4，
a=（$\frac{1}{3}$）^a-4，左增，右減，有唯一解a=3，
故f（x）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=a=3，
f（x）=3-log${\;}_{\frac{1}{3}}$x，
由方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，
即有|log${\;}_{\frac{1}{3}}$x|=x³-6x²+9x-4+a，
由g（x）=x³-6x²+9x-4+a，g′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
當1＜x＜3時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞增．
g（x）在x=1處取得最大值a，g（0）=a-4，g（3）=a-4，
分別作出y=|log${\;}_{\frac{1}{3}}$x|，和y=x³-6x²+9x-4的圖象，可得
兩圖象只有一個交點，將y=x³-6x²+9x-4的圖象向上平移，
至經(jīng)過點（3，1），有兩個交點，
由g（3）=1即a-4=1，解得a=5，
當0＜a≤5時，兩圖象有兩個交點，
即方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解．
故選：A．

點評 本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)的綜合運用，綜合性強，難度大．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．