Question

17．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的中心為O，一個方向向量為$\overrightarrowvn1t17d$=（1，k）的直線l與Γ只有一個公共點M．
（1）若k=1且點M在第二象限，求點M的坐標；
（2）若經過O的直線l₁與l垂直，求證：點M到直線l₁的距離d≤$\sqrt{5}$-2；
（3）若點N、P在橢圓上，記直線ON的斜率為k₁，且$\overrightarrowzrhfbld$為直線OP的一個法向量，且$\frac{{k}_{1}}{k}$=$\frac{4}{5}$，求|ON|²+|OP|²的值．

Answer 1

分析 （1）設直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程4x²+5y²=20，可得x的方程，運用直線和橢圓只有一個公共點M，可得△=0，化簡整理，解方程可得M的坐標；
（2）設直線l₁：x+ky=0，運用（1）求得M到直線l₁的距離公式，再由基本不等式可得最大值，即可得證；
（3）直線ON的方程為y=$\frac{4}{5}$kx，代入橢圓方程4x²+5y²=20，可得交點N，求得|ON|，同樣將直線OP：x+ky=0代入橢圓方程求得P的坐標，可得|OP|，化簡整理即可得到所求值．

解答 解：（1）設直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程4x²+5y²=20，
可得（4+5k²）x²+10ktx+5t²-20=0，
直線l與Γ只有一個公共點M，可得△=0，
即有100k²t²-4（4+5k²）（5t²-20）=0，
化簡可得t²=4+5k²，
由k=1可得t=±3，
由點M在第二象限，可得M（-$\frac{5k}{t}$，$\frac{4}{t}$），
即為（-$\frac{5}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
（2）證明：設直線l₁：x+ky=0，
由（1）可得M（-$\frac{5k}{t}$，$\frac{4}{t}$），t²=4+5k²，
則點M到直線l₁的距離d=$\frac{|-\frac{5k}{t}+\frac{4k}{t|}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）（4+5{k}^{2}）}}$
=$\sqrt{\frac{1}{5{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+9}}$≤$\sqrt{\frac{1}{9+2\sqrt{4×5}}}$=$\sqrt{\frac{1}{9+4\sqrt{5}}}$=$\sqrt{5}$-2，
當且僅當5k²=$\frac{4}{{k}^{2}}$時，取得等號；
（3）由題意可得直線ON的方程為y=$\frac{4}{5}$kx，
代入橢圓方程4x²+5y²=20，可得（20+16k²）x²=100，
即有x²=$\frac{25}{5+4{k}^{2}}$，y²=$\frac{16{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$，
即有|ON|²=$\frac{25+16{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$，
將直線OP的方程x+ky=0，代入橢圓方程可得，
y²=$\frac{20}{5+4{k}^{2}}$，x²=$\frac{20{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$，
即有|OP|²=$\frac{20+20{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$，
則|ON|²+|OP|²=$\frac{45+36{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$=9．

點評 本題考查橢圓的方程的運用，直線和橢圓方程聯立，運用判別式為0和求得交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．