Question

10．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中點，AB₁⊥BC₁，則平面DBC₁與平面CBC₁所成的角為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A為坐標原點，$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{A{A}_{1}}$的方向分別為y軸和z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面DBC₁與平面CBC₁所成的角．

解答 解：以A為坐標原點，$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{A{A}_{1}}$的方向分別為y軸和z軸的正方向建立空間直角坐標系．
設(shè)底面邊長為2a，側(cè)棱長為2b，
則A（0，0，0），C（0，2a，0），D（0，a，0），B（$\sqrt{3}$a，a，0），C₁（0，2a，2b），B₁（$\sqrt{3}$a，a，2b）．
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}a，a，2b$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}a$，a，2b），$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}a$，0，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，a，2b），
由AB₁⊥BC₁，得$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=2a²-4b²=0，即2b²=a²．
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面DBC₁的一個法向量，
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DB}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}ax=0}\\{ay+2bz=0}\end{array}\right.$，又2b²=a²，令z=1，解得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\sqrt{2}$，1）．
同理可求得平面CBC₁的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
設(shè)平面DBC₁與平面CBC₁所成的角為θ，
則 cos θ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得θ=45°．
∴平面DBC₁與平面CBC₁所成的角為45°．
故選：B．

點評 本題考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．