Question

如圖，四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°，點E在BD上，且CE=DE．
（Ⅰ）求證：AB⊥CE；
（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得∠CDB=30°，∠DCE=30°，∠BCE=90°，從而EC⊥BC，由平面ABC⊥平面BCD，得EC⊥平面ABC，由此能證明EC⊥AB．
（Ⅱ）取BC的中點O，BE中點F，連結(jié)OA，OF，以O(shè)為原點，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面ACD的法向量和平面BCD的法向量，由此利用向量法能注出二面角A-CD-B的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CDB=30°，
∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°，
∴EC⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC與平面BCD的交線為BC，
∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．
（Ⅱ）解：取BC的中點O，BE中點F，連結(jié)OA，OF，
∵AC=AB，∴AO⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中點，F(xiàn)是BE中點，∴OF⊥BC，
以O(shè)為原點，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)DE=2，則A（0，0，1），B（0，

3

，0），
C（0，-

3

，0），D（3，-2

3

，0），
∴

AC

=（0，-

3

，-1），

CD

=（3，-

3

，0），
設(shè)平面ACD的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AC = 3 y+z=0 n • CD =3x- 3 y=0

，取x=1，得

n

=（1，

3

，-3），
又平面BCD的法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

3 13

13

，
∴二面角A-CD-B的余弦值為

3 13

13

．

點評：本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面以及面面的垂直關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求．