Question

三棱錐P-ABC中，底面ABC為邊長為2

3

的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D 為AP上一點(diǎn)，AD=2DP，O為底面三角形中心．
（Ⅰ） 求證：BD⊥AC；
（Ⅱ） 設(shè)M為PC中點(diǎn)，求二面角M-BD-O的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)AO，并延長，交BC于點(diǎn)E，連結(jié)PE，由已和得DO∥PE，PC⊥BC，DO⊥AC，又AC⊥BO，從而AC⊥平面DOB，由此能證明AC⊥BD．
（Ⅱ）分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDM的一個法向量和平面DBO的一個法向量，利用向量法能求出二面角M-BD-O的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：連結(jié)AO，并延長，交BC于點(diǎn)E，連結(jié)PE，
∵O為正三角形ABC的中心，且E為BC中點(diǎn)，
又AD=2DP，∴DO∥PE，
∵PB=PC，且E為BC中點(diǎn)，∴PC⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，
∴DO⊥平面PBC，∴DO⊥AC，又AC⊥BO，∴AC⊥平面DOB，
∴AC⊥BD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EA，EB，EP兩兩互相垂直，且E為BC中點(diǎn)，
分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則A（3，0，0），B（0，

3

，0），P（0，0，1），D（1，0，

2

3

），
C（0，-

3

，0），M（0，-

3

2

，

1

2

），
∴

BM

=（0，-

3 3

2

，

1

2

），

DB

=（-1，

3

，-

2

3

），
設(shè)平面BDM的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • DB =-x+ 3 y- 2 3 z=0 n • BM =- 3 3 2 y+ 1 2 z=0

，
令y=1，得

n

=（-

3

，1，3

3

），
由（Ⅰ）知AC⊥平面DBO，∴

AC

=（-3，-

3

，0）為平面DBO的一個法向量，
∴cos＜

n

，

AC

＞=

n • AC

| n |•| AC |

=

3 3 - 3

31 • 12

=

31

31

，
∴二面角M-BD-O的余弦值為

31

31

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．