Question

15．已知橢圓兩焦點坐標為F（±3，0），長軸長為10．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若有一條傾斜角為30°的直線過橢圓右焦點，求直線與兩坐標軸所圍成三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=3，a=5，由a，b，c的關(guān)系，可得b=4，即可得到橢圓方程；
（2）求得直線的斜率，運用點斜式方程可得直線的方程，再令x=0，y=0，可得截距，即可得到所求三角形的面積．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=3，2a=10，即a=5，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4，
即有橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）橢圓的右焦點為（3，0），直線的斜率為tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得直線的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3），
令x=0，可得y=-$\sqrt{3}$；由y=0，可得x=3．
即有直線與兩坐標軸所圍成三角形的面積為：
S=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查三角形的面積的計算，注意運用直線方程，求得x，y軸上的截距，屬于基礎(chǔ)題．