Question

6．給出下列命題：
①雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}$+y²=1有相同的焦點(diǎn)；
②過(guò)點(diǎn)P（2，1）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=$\frac{1}{2}$x；
③已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，若它的離心率為$\sqrt{5}$，則雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x；
④橢圓$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，△PF₁F₂的面積的最大值為2，則m的值為2．
其中真命題的序號(hào)為①③．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 對(duì)4個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①因?yàn)閮蓚�(gè)曲線的焦點(diǎn)都在x軸上，半焦距c相等都是$\sqrt{34}$，所以雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}$+y²=1有相同的焦點(diǎn)，正確；
②過(guò)點(diǎn)P（2，1）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=$\frac{1}{2}$x，還有一條焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，不正確；
③已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，若它的離心率為$\sqrt{5}$，則$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，$\frac{a}$=2，∴雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x，正確；
④由解析式知，半焦距長(zhǎng)為1，△PF₁F₂的面積的最大值為2，即bc=2．可得b=2，故m=4，不正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的定義、焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率等知識(shí)，是中檔題．