Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的最小正周期為2π．
（1）求ω的值；
（2）已知直線x=-

π

4

是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，求f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式為y=

1+a2

sin（ωx+α） （ω＞0），再根據(jù)它的最小正周期為2π，求得ω的值．
（2）由直線x=-

π

4

是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，可得 sin（-

π

4

）+acos（-

π

4

）=±

1+a2

，求得 a的值，可得函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=sinωx+acosωx=

1+a2

sin（ωx+α） （ω＞0），其中，cosα=

1

1+a2

，sinα=

a

1+a2

，
且f（x）的最小正周期為2π，∴

2π

ω

=2π，∴ω=1．
（2）∵已知直線x=-

π

4

是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，∴sin（-

π

4

）+acos（-

π

4

）=±

1+a2

，即a²+2a+1=0，
求得 a=-1，故函數(shù)的最大值為

1+a2

=

2

，最小值為-

1+a2

=-

2

．

點評：本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的周期性、對稱性、以及最值，屬于基礎(chǔ)題．