Question

（本小題滿分14分）

如圖4，在三棱柱中，△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，

平面，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面；

（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成最大角的正切值為時(shí)，

求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接∵∥，且∴為的中點(diǎn). ∴∥.∴∥平面（2）

【解析】

試題分析：解法一：

（1）證明：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接.

∵∥，且，

∴為的中點(diǎn).  

∵為的中點(diǎn)，

∴∥. 

∵平面，平面，

∴∥平面. 

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是的中點(diǎn)，

∴，. 

∵平面，平面，，

∴平面.

∴為與平面所成的角.  

∵，

在Rt△中，，

∴當(dāng)最短時(shí)，的值最大，則最大.

∴當(dāng)時(shí)，最大. 此時(shí)，.

∴.

∵∥，平面，

∴平面.

∵平面，平面，

∴，.   

∴為平面 與平面所成二面角（銳角）.

在Rt△中，，.

∴平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.

解法二：

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、.

∵為的中點(diǎn)，

∴∥，且.

∵∥，且，

∴∥，.  

∴四邊形是平行四邊形.

∴∥.  

∵平面，平面，

∴∥平面.  

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是的中點(diǎn)，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴為與平面所成的角. 

∵，

在Rt△中，，

∴當(dāng)最短時(shí)，的值最大，則最大. 

∴當(dāng)時(shí)，最大. 此時(shí)，.

∴.  

在Rt△中，.

∵Rt△～Rt△，

∴，即.

∴.  

以為原點(diǎn)，與垂直的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.

∴， ， .

設(shè)平面的法向量為，

由，，

得 

令，則.

∴平面的一個(gè)法向量為. 

∵平面， ∴是平面的一個(gè)法向量.

∴.   

∴平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為. 

考點(diǎn)：線面平行的判定及線面角二面角

點(diǎn)評(píng)：立體幾何題目若能找到從同一點(diǎn)出發(fā)的三線兩兩垂直則一般采用空間向量的方法求解，并且向量法求解立體幾何問題是高考題目的方向。本題還考查了空間想象、推理論證、抽象概括和運(yùn)算求解能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法