Question

5．如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥CD；
（3）若PA=AD，求證：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點E，連結AE、EN，證明四邊形AMNE是平行四邊形，可得MN∥AE，利用線面平行的判定，即可得出結論．
（2）由線面垂直得PA⊥CD，由矩形性質得AD⊥CD，由此能證明CD⊥MN．
（3）由等腰三角形性質得AE⊥PD，又AE⊥CD，從而AE⊥平面PCD，由此能證明MN⊥平面PCD．

解答 證明：（1）如圖，取PD的中點E，連結AE、EN
則有EN∥CD∥AM，且EN=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=MA．
∴四邊形AMNE是平行四邊形．
∴MN∥AE．
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵矩形ABCD中，AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
∵MN∥AE，∴CD⊥MN．
（3）∵PA=AD，E是PD中點，∴AE⊥PD，
又AE⊥CD，CD∩PD=D，
∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．