Question

13．在正三棱錐S-ABC中，M，N分別是棱SC、BC的中點，且MN⊥AM，若側棱SA=$\sqrt{3}$，則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是9π．

Answer 1

分析 根據三棱錐為正三棱錐，可證明出AC⊥SB，結合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三條側棱兩兩互相垂直．最后利用公式求出外接圓的直徑，結合球的表面積公式，可得正三棱錐S-ABC的外接球的表面積．

解答 解：∵M，N分別是棱SC、BC的中點，
∴MN∥SB，
MN⊥AM，可得SB⊥AM，
由正三棱錐的性質可得SB⊥AC，
∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC，
∵三棱錐S-ABC是正三棱錐
∴SA、SB、SC三條側棱兩兩互相垂直．
∵側棱SA=$\sqrt{3}$，
∴正三棱錐S-ABC的外接球的直徑為：2R=3
外接球的半徑為R=$\frac{3}{2}$
∴正三棱錐S-ABC的外接球的表面積是S=4πR²=9π
故答案為：9π．

點評 本題以正三棱錐中的垂直關系為例，考查了空間線面垂直的判定與性質，以及球內接多面體等知識點，屬于中檔題．