Question

設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+ax+2b-2=0有兩個(gè)相異實(shí)根，其中一根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則

a+b-5

a-1

的取值范圍是

(

3

2

，

5

2

)

．

Answer 1

分析：要求的式子化為1+

b-4

a-1

，表示點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)D（1，4）連線的斜率再加上1．由

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

畫(huà)出可行域，
求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)z=

b-4

a-1

表示可行域里面的點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)D（1，4）的斜率的大小，
求出z的范圍，可得z+1的范圍，即為所求．

解答：解：

a+b-5

a-1

=

a-1+b-4

a-1

=1+

b-4

a-1

，表示點(diǎn)（a，b）
與點(diǎn)D（1，4）連線的斜率再加上1，
實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+ax+2b-2=0有兩個(gè)相異實(shí)根，
f（x）=x²+ax+2b-2，圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=-

a

2

，
由

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

 可得

2b-2＞0 1+a+2b-2＜0 4+2a+2b-2＞0

，畫(huà)出可行域，
如圖陰影部分所示：
由

b-1=0 a+2b-2=0

 求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，1），
由

a+b+1=0 a+2b-1=0

求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，2）．
設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=

b-4

a-1

，表示可行域里面的點(diǎn)（a，b）
與點(diǎn)D（1，4）的斜率的大小，
∴z_min=K_AD=

4-2

4

=

1

2

；z_max=K_BD 

4-1

1+1

=

3

2

，∴

1

2

≤z≤

3

2

．
再由于點(diǎn)A和點(diǎn)B不在可行域內(nèi)，故有

1

2

＜z＜

3

2

．
∴1+

b-4

a-1

的范圍為（

3

2

，

5

2

），
故答案為 （

3

2

，

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，還考查了簡(jiǎn)單線性和規(guī)劃問(wèn)題，要分析

b-4

a-1

的幾何的意義，屬于中檔題．