Question

7．已知圓C過(guò)兩點(diǎn)M（-3，3），N（1，-5），且圓心C在直線2x-y-2=0上．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)（-2，5）且與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，若直線l的斜率k大于0，求k的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在直線l使得弦AB的垂直平分線過(guò)點(diǎn)P（3，-1），若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由M（-3，3），N（1，-5），得MN的垂直平分線方程，和已知直線聯(lián)立解得圓心坐標(biāo)，再由R²=|CM|²求出半徑，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y-5=k（x+2）即kx-y+2k+5=0，設(shè)C到直線l的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合題意求得k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)符合條件的直線l存在，則AB的垂直平分線方程為：y+1=-$\frac{1}{k}$（x-3）即：x+ky+k-3=0，由弦的垂直平分線過(guò)圓心（1，0）得k的值，即可求出符合條件的直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）由M（-3，3），N（1，-5），得MN的垂直平分線方程為：x-2y-1=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-1=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得圓心坐標(biāo)為C（1，0），
R²=|CM|²=（-3-1）²+（3-0）²=25．
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+y²=25；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y-5=k（x+2）即kx-y+2k+5=0，設(shè)C到直線l的距離為d，
則d=$\frac{|3k+5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由題意：d＜5   即：8k²-15k＞0，
∴k＜0或k＞$\frac{15}{8}$，
又∵k＞0，
∴k的取值范圍是（$\frac{15}{8}$，+∞）；
（III）設(shè)符合條件的直線l存在，則AB的垂直平分線方程為：y+1=-$\frac{1}{k}$（x-3）即：x+ky+k-3=0，
∵弦的垂直平分線過(guò)圓心（1，0），∴k-2=0，即k=2．
∵k=2＞$\frac{15}{8}$，
故符合條件的直線存在，l的方程為：x+2y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．