Question

17．已知f（x）=xlnx+mx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若當(dāng)m=0時(shí)，對(duì)任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于m的不等式，解出即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，設(shè)$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}（x＞0）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=lnx+（1+m），
因?yàn)閒（x）在（1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，
則方程lnx+（1+m）=0在（1，+∞）上無(wú)實(shí)根，
故1+m≥0，則m≤-1．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，則$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立．
設(shè)$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}（x＞0）$，則$h'（x）=\frac{{（{x+3}）（{x-1}）}}{x^2}$，
當(dāng)x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
h（x）在（0，+∞）上，有唯一極小值h（1），即為最小值，
所以h（x）_min=h（1）=4，
因?yàn)閷?duì)任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成成立，
故a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．