Question

（2009•大連二模）（I）已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

，x∈(

1

4

，

1

2

)，P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是f(x)圖象上的任意兩點(diǎn)，且x₁＜x₂．
①求直線PQ的斜率k_PQ的取值范圍及f（x）圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的取值范圍；
②由①你得到的結(jié)論是：若函數(shù)f（x）在[a，b]上有導(dǎo)函數(shù)f′（x），且f（a）、f（b）存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=

f(b)-f(a)

b-a

成立（用a，b，f（a），f（b）表示，只寫出結(jié)論，不必證明）
（II）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g′（x），且g′（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，g（0）=0．試運(yùn)用你在②中得到的結(jié)論證明：
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（1）x＜g（x）．

Answer 1

分析：（I）①由于f（x）=x-

1

x

，x∈（

1

4

，

1

2

），依題意，可求得直線PQ的斜率k_PQ=1-

1

x2x1

∈（-15，-3）．②依題意，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=

f(b)-f(a)

b-a

；
（II）當(dāng)x∈（0，1），根據(jù)（1）中②的結(jié)論，得到存在ξ₁∈（0，x），ξ₂∈（x，1），使得g′（ξ₁）=

g(x)-g(0)

x-0

，g′（ξ₂）=

g(1)-g(x)

1-x

，再利用g′（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，g（0）=0，即可證得g（1）x＜g（x）．

解答：解：（1）①直線PQ的斜率k_PQ=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=1-

1

x2x1

，
由于

1

4

＜x₁＜x₂＜

1

2

，所以-15＜1-

1

x2x1

＜-3，
即直線PQ的斜率k_PQ∈（-15，-3）．…（2分）
由f′（x）=1-

1

x2

，又x∈（

1

4

，

1

2

），所以f′（x）∈（-15，-3），
即f（x）圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的取值范圍為k∈（-15，-3）．…（4分）
②

f(b)-f(a)

b-a

．…（6分）
（2）當(dāng)x∈（0，1），根據(jù)（1）中②的結(jié)論，得到存在ξ₁∈（0，x），ξ₂∈（x，1），使得
g′（ξ₁）=

g(x)-g(0)

x-0

，g′（ξ₂）=

g(1)-g(x)

1-x

，…（9分）
又g′（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，所以g′（ξ₁）＞g′（ξ₂），
即

g(x)-g(0)

x-0

＞

g(1)-g(x)

1-x

，而g（0）=0，
所以

g(x)

x

＞

g(1)-g(x)

1-x

，
因?yàn)閤∈（0，1），所以x＞0，1-x＞0
所以g（1）x＜g（x）．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查直線的斜率及利用不等式確定斜率之范圍，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及綜合應(yīng)用，屬于難題．