Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD=2AB=2．
（Ⅰ）若E為PC中點(diǎn)，求三棱錐C-BDE的體積；
（Ⅱ）在線段PB上找出一點(diǎn)F，使得AF∥平面PCD，指出點(diǎn)F的位置并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）運(yùn)用等積法，V_C-BDE=V_E-BCD，在平面PAC中，過(guò)E作EH∥PA，交AC于H，求出EH，即可得到；
（Ⅱ）當(dāng)F為線段PB的中點(diǎn)時(shí)，使得AF∥平面PCD．連接EF，ED，運(yùn)用中位線定理，證得四邊形ADEF為平行四邊形，再由線面平行的判定定理，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：在平面PAC中，過(guò)E作EH∥PA，交AC于H，
∵PA⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，
∵E為PC中點(diǎn)，∴EH=

1

2

，
三棱錐C-BDE的體積V_C-BDE=V_E-BCD=

1

3

•EH•S△BCD
=

1

3

×

1

2

×

1

2

×2×1=

1

6

；
（Ⅱ）當(dāng)F為線段PB的中點(diǎn)時(shí)，使得AF∥平面PCD．
證明如下：連接EF，ED，
∵PE=EC，PF=FB，∴EF∥BC，EF=

1

2

BC=1，
∵AD∥BC，AD=1，∴EF∥AD，EF=AD，
∴四邊形ADEF為平行四邊形，
∴AF∥DE，
∵AF?平面PCD，DE?平面PCD，∴AF∥平面PCD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定和性質(zhì)，注意條件的全面性，考查線面垂直的性質(zhì)，以及棱錐體積的計(jì)算，注意運(yùn)用等積法，屬于中檔題．