Question

如圖，已知橢圓C的方程為＋y2＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)．

(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若＝m＋n，求證：動(dòng)點(diǎn)Q(m，n)在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；

(2)若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由．

 

Answer 1

（1）見解析（2）△OMN的面積為定值1

【解析】(1)證明：易知A(2，1)，B(－2，1)．設(shè)P(x0，y0)，則＋＝1.由＝m＋n，得所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，故點(diǎn)Q(m，n)在定圓x2＋y2＝上．

(2)【解析】
(解法1)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則，平方得＝16＝(4－)(4－)，即＋＝4.因?yàn)橹本�MN的方程為(y1－y2)x－(x1－x2)y＋x1y2－x2y1＝0，所以O(shè)到直線MN的距離為d＝，所以△OMN的面積S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝＝＝＝1，故△OMN的面積為定值1.

(解法2)設(shè)OM的方程為y＝kx(k>0)，則ON的方程為y＝－x(k>0)．聯(lián)立方程組解得M.同理可得N

因?yàn)辄c(diǎn)N到直線OM的距離為d＝，OM＝＝2，所以△OMN的面積S＝d·OM＝＝1，故△OMN的面積為定值．