Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，橢圓上短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為；

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），是橢圓上位于直線(xiàn)兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，若，求證：直線(xiàn)的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)離心率和三角形面積可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）假設(shè)直線(xiàn)方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到和；根據(jù)知，從而可利用韋達(dá)定理形式表示出等式，化簡(jiǎn)可得；當(dāng)時(shí)，可知過(guò)點(diǎn)，不符合題意；所以可知.

（1）由題意可得：且

又得：，，

橢圓的方程為

（2）證明：由（1）可得：直線(xiàn)：，

設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程

消可得

設(shè)，，則

則，

即

化簡(jiǎn)可得

或

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為

則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意

即直線(xiàn)的斜率為定值