Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（ I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（ II）若a=2，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
①若首項(xiàng)a₁=10，證明數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列；
②若首項(xiàng)為正整數(shù)，數(shù)列{a_n}遞增，求首項(xiàng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（ I）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（ II）將a=2代入，求出f（x）的表達(dá)式，由（ I）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，（2）問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=

1

2

x²-3x+lnx的單調(diào)性問題．

解答： 解（ I）可知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′（x）=x-a+

a-1

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

．
當(dāng)a-1=1即a=2，則f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，得f（x）在（0，+∞）單調(diào)增加．
當(dāng)a-1＜1，而a＞1，即1＜a＜2時(shí)，若x∈（a-1，1），則f′（x）＜0；
若x∈（0，a-1）或x∈（1，+∞），則f′（x）＞0．
此時(shí)f（x）在（a-1，1）單調(diào)減少，在（0，a-1），（1，+∞）單調(diào)增加；
當(dāng)a-1＞1，即a＞2，可得f（x）在（1，a-1）單調(diào)減少，在（0，1），（a-1，+∞）單調(diào)增加．
綜上，當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a-1，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，a-1）和（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，a-1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，1）和（a-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（ II）若a=2，則f（x）=

1

2

x²-2x+lnx，由（ I）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）因?yàn)閍₁=10，所以a₂=f（a₁）=f（10）=30+ln10，可知a₂＞a₁．
假設(shè)0＜a_k＜a_k+1，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（a_k+1）＞f（a_k），即得a_k+2＞a_k+1＞0．
所以，由數(shù)學(xué)歸納法可得a_n＜a_n+1．因此數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列．
（2）由（1）知：當(dāng)且僅當(dāng)0＜a₁＜a₂，數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列．
所以，題設(shè)即

1

2

a12-2 a₁+lna₁＞a₁，且a₁為正整數(shù)．得

1

2

a12-3a₁+lna₁＞0．
令g（x）=

1

2

x²-3x+lnx（x≥1），則g′（x）=x-3+

1

x

，可知函數(shù)g（x）在區(qū)間[3，+∞）遞增．
由于g（1）=

1

2

-3＜0，g（2）=2-6+ln2=ln2-4＜0，g（5）=-

5

2

+ln5＜0，g（6）=ln6＞0．所以，首項(xiàng)a₁的最小值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了分類討論思想，考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，是一道難題．