Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD一A₁B₁C₁D₁中，M為BC的中點，N為AB的中點，P為BB₁的中點．
（1）求證：BD₁⊥B₁C；
（2）求證：BD₁⊥平面MNP．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用正方體的性質得到AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C⊥BC₁，只要判斷B₁C⊥平面ABC₁D₁即可；
（2）連接BC₁，欲證BD₁⊥平面MNP，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD₁與平面MNP內兩相交直線垂直，而BD₁⊥PM，而BD₁⊥MN，MN∩PM=M，滿足定理條件；

解答： 證明：（1）連接BC_1，
∵幾何體為正方體，∴AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C⊥BC₁
∴AB⊥B₁C，
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，
∴B₁C⊥BD₁即BD₁⊥B₁C；
（2）由正方體的性質得BC₁是BD₁在平面BCC₁B₁內的射影，且B₁C⊥BC₁，
∴BD₁⊥B₁C，
∵M為BC的中點，N為AB的中點，P為BB₁的中點．
∴B₁C∥PM，∴BD₁⊥PM，而BD₁⊥MN
又MN∩PM=M，
∴BD₁⊥平面MNP．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．