Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列（a_k與公差d均不為0）．
（1）求證：k取任何正整數(shù)，方程a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0都有一個相同的實根；
（2）若上述方程的另一非零實根為a_k，求證：{

1

1+an

}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),等差關系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，2a_k+1=a_k+a_k+2，于是原方程可轉(zhuǎn)化為（a_kx+a_k+2）（x+1）=0，從而可證結論；
（2）原方程另一根為x_n，利用韋達定理，可求得x_n=-

ak+2

ak

=-1-

2d

ak

，繼而得

1

1+xn

=-

ak

2d

，利用等差數(shù)列的定義，證明即可．

解答： 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴2a_k+1=a_k+a_k+2，
原方程可轉(zhuǎn)化為（a_kx+a_k+2）（x+1）=0，
∴k取任何正整數(shù)，方程a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0都有一個相同的實根-1；
（2）由題意，原方程另一根為x_n，x_n=-

ak+2

ak

=-1-

2d

ak

，
∴1+x_n=-

2d

ak

，
∴

1

1+xn

=-

ak

2d

，
∴

1

1+xn+1

-

1

1+xn

=

ak-ak+1

2d

=-

1

2

（常數(shù)）．
∴數(shù)列{

1

1+xn

}即{

1

1+an

}是以-

1

2

為公差的等差數(shù)列．

點評：本題考查等差關系得確定，考查方程思想與推理運算能力，屬于中檔題．