Question

【題目】已知點(diǎn)F為拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（3，m）在拋物線E上，且|AF|=4．

（1）求拋物線E的方程；
（2）已知點(diǎn)G（﹣1，0），延長AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線定義可得：|AF|=3+ =4，解得p=2．

∴拋物線E的方程為y2=4x；

（2）證明：∵點(diǎn)A（3，m）在拋物線E上，

∴m2=4×3，解得m=±2 ，不妨取A（3，2 ），F(xiàn)（1，0），

∴直線AF的方程：y= （x﹣1），

聯(lián)立拋物線，化為3x2﹣10x+3=0，解得x=3或 ，B（ ，﹣ ）．

又G（﹣1，0），∴kGA= ．kGB=﹣ ，

∴kGA+kGB=0，

∴∠AGF=∠BGF，∴x軸平分∠AGB，

因此點(diǎn)F到直線GA，GB的距離相等，

∴以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

【解析】（1）由拋物線定義可得：|AF|=3+ =4，解得p．即可得出拋物線E的方程．（2）由點(diǎn)A（3，m）在拋物線E上，解得m，不妨取A（3，2 ），F(xiàn)（1，0），可得直線AF的方程，與拋物線方程聯(lián)立化為3x2﹣10x+3=0，解得B（ ，﹣ ）．又G（﹣1，0），計(jì)算kGA ， kGB ， 可得kGA+kGB=0，∠AGF=∠BGF，即可證明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．