Question

如圖（1），在三角形ABC中，BA=BC=2，∠ABC=90°，點O，M，N分別為線段的中點，將ABO和MNC分別沿BO，MN折起，使平面ABO與平面CMN都與底面OMNB垂直，如圖（2）所示．

（1）求證：AB∥平面CMN；

（2）求平面ACN與平面CMN所成角的余弦；

（3）求點M到平面ACN的距離．

 

 

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1），平面平面，又平面平面，，

所以平面，同理平面，所以∥，又平面,

平面 , ，所以面面，又面，所以面；

（2）分別以為軸建立坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，

則有，令，得，而平面AOMC的法向量為：，，即平面ACN與平面AOMC所成角的余弦值為；（3），由（2）知平面的法向量為：，因此點M到平面CAN的距離.

試題解析：（1），平面平面

∵平面平面，，∴平面，同理平面，∴∥，又∵平面,

平面 , ，

∴平面平面，又平面，

∴平面

（2）分別以為軸建立坐標系，

則，，，，，

∴，，設(shè)平面的法向量為，

則有，令，得，而平面AOMC的法向量為：，

即平面ACN與平面AOMC所成角的余弦值為

（3），由（2）知平面的法向量為：，

∴點M到平面CAN的距離

考點：1.線面平行的判定；2.向量法求二面角；3.向量法求點到平面的距離