Question

9．已知a＞0，b＞0，求證：$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$≥$\frac{（x+y）^{2}}{a+b}$．

Answer 1

分析 由a＞0，b＞0，可得（a+b）（$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$）=x²+y²+$\frac{b{x}^{2}}{a}$+$\frac{a{y}^{2}}$，運用二元均值不等式，即可得證．

解答 證明：由a＞0，b＞0，可得
（a+b）（$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$）=x²+y²+$\frac{b{x}^{2}}{a}$+$\frac{a{y}^{2}}$
≥x²+y²+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$xy=x²+y²+2xy
=（x+y）²，（當(dāng)且僅當(dāng)b|x|=a|y|取得等號）．
即有$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$≥$\frac{（x+y）^{2}}{a+b}$．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用均值不等式，以及不等式的性質(zhì)，考查運算和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．