Question

17．在邊長為5的菱形ABCD中，AC=8．現(xiàn)沿對角線BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值為$\frac{9}{25}$．
（1）求證：平面ABD⊥平面CBD；
（2）若M是AB的中點，求折起后AC與平面MCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BD中點O，連接OA，OC，利用余弦定理求出AC，利用勾股定理的逆定理得出AO⊥OC，又OA⊥BD，故而AO⊥平面BCD，于是平面ABD⊥平面CBD；
（2）以O為原點建立空間坐標系，求出$\overrightarrow{AC}$和平面MCD的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AC}$＞|即為AC與平面MCD所成角的正弦值．

解答 證明：（1）取BD中點O，連接OA，OC，則OA=OC=4，
∵AD=CD=5，cos∠ADC=$\frac{9}{25}$．
∴AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC=25+25-2×$5×5×\frac{9}{25}$=32．
∴OA²+OC²=AC²，
∴OA⊥OC．
∵AB=AD，O是BD的中點，
∴OA⊥BD．
又BD?平面BCD，OC?平面BCD，BD∩OC=O，
∴OA⊥平面BCD．
又OA?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD．
解：（2）∵BC=CD，
∴OC⊥BD．
以O為原點，以OC，OD，OA為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：
則C（4，0，0），A（0，0，4），D（0，3，0），M（0，-$\frac{3}{2}$，2）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（4，0，-4），$\overrightarrow{DC}$=（4，-3，0），$\overrightarrow{MC}$=（4，$\frac{3}{2}$，-2）．
設平面MCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y=0}\\{4x+\frac{3}{2}y-2z=0}\end{array}\right.$，令x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，4，9）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}$=-24．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AC}|}$=-$\frac{3\sqrt{53}}{53}$．
∴AC與平面MCD所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{53}}{53}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，空間向量的應用與線面角的計算，屬于中檔題．