Question

9．下列有關(guān)向量的說法：
①若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$；
②若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為|$\overrightarrow{a}$|；
③若向量$\overrightarrow{a}$=（λ，2λ）與$\overrightarrow$=（3λ，2）的夾角為銳角，則λ＜-$\frac{4}{3}$或λ＞0；
④若O為△ABC內(nèi)一點，且$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則S_△AOB：S_△AOC：S_△BOC=3：2：1．
其中，錯誤命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由相等向量的概念判斷①；由向量在向量方向上投影的概念判斷②；注意向量共線同向判斷③；由已知條件求出S_△AOB、S_△AOC、S_△BOC的比值判斷④．

解答 解：①，若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，但$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的方向不同，則$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow$，故①錯誤；
②，若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為±|$\overrightarrow{a}$|，故②錯誤；
③，若向量$\overrightarrow{a}$=（λ，2λ）與$\overrightarrow$=（3λ，2）的夾角為銳角，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞0$，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{λ}^{2}+4λ＞0}\\{2λ-6{λ}^{2}≠0}\end{array}\right.$，解得λ∈（-∞，-$\frac{4}{3}$）∪（0，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞），故③錯誤；
④，若O為△ABC內(nèi)一點，且$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則S_△AOB：S_△AOC：S_△BOC=3：2：1，正確．
事實上，如圖所示，
延長OB到點E，使得$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OB}$，分別以$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OE}$為鄰邊作平行四邊形OAFE．
則$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OF}$，
∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴-$\overrightarrow{OF}$=3$\overrightarrow{OC}$．
又$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{OD}$．
于是$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OD}$，
∴S_△ABC=2S_△AOB．
同理可得：S_△ABC=3S_△AOC，S_△ABC=6S_△BOC．
∴AOB，△AOC，△BOC的面積比=3：2：1．
∴正確的命題是1個．
故選：A．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了平面向量的應(yīng)用問題，對于命題④的判斷是解答該題的關(guān)鍵，屬中檔題．