Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n=4^n-1+n，n∈N^*．
（1）求數(shù){a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）證明不等式S_n+1≤4S_n，對(duì)任意n∈N^*皆成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）對(duì)任意的n∈N^*，S_n+1-4S_n=-

1

2

(3n2+n-4)，對(duì)n分類討論，n=1與n≥2時(shí) 即可證明．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}的a_n=4^n-1+n，n∈N^*．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

4n-1

4-1

+

n(n+1)

2

=

1

3

(4n-1)+

1

2

(n2+n)．
（2）證明：對(duì)任意的n∈N^*，S_n+1-4S_n=

4n+1-1

3

+

(n+1)(n+2)

2

-4（

1

3

(4n-1)+

1

2

(n2+n)）．
=-

1

2

(3n2+n-4)
當(dāng)n=1時(shí)，S₂=a₁+a₂=8，4S₁=8，∴S₂=4S₁；
當(dāng)n≥2時(shí)，3n+4＞0，n-1＞0，∴-

1

2

(3n2+n-4)＜0，即S_n+1＜4S_n．
∴不等式S_n+1≤4S_n，對(duì)任意n∈N^*皆成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、作差法、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．