Question

【題目】設，分別是橢圓的左，右焦點，兩點分別是橢圓的上，下頂點，是等腰直角三角形，延長交橢圓于點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是橢圓上異于的動點，直線與直分別相交于兩點，點，試問：的外接圓是否恒過軸上的定點（異于點）？若是，求該定點坐標；若否，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，

【解析】

（1）利用橢圓的定義可得，結合是等腰直角三角形，可求橢圓的方程；

（2）設出直線方程，表示出的坐標，求出圓心，利用半徑相等可得定點坐標.

（1）∵的周長為，由定義可知，，，

∴，∴，

又∵是等腰直角三角形，且，∴，

∴橢圓的方程為；

（2）設，則，

∴直線與的斜率之積為，

設直線的斜率為，則直線，，

由，可得，同理，

假設的外接圓恒過定點了，

則其圓心，

又

∴，

∴解得，

∴的外接圓恒過軸定點.