Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$．
（1）若曲線y=f（x）（0＜x＜3）上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若方程f（x）-$\frac{a}{x}$+x=mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，條件轉(zhuǎn)化為a≥-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀，x₀∈（0，3]恒成立，由二次函數(shù)最值求法，即可得出a的范圍；
（2）由題意可得lnx+x=mx有唯一解，即m=1+$\frac{lnx}{x}$，設(shè)g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，端點(diǎn)處的函數(shù)值，可得m的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
∵y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，x₀∈（0，3]恒成立，
∴a≥-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀，x₀∈（0，3]恒成立，
由 y=-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀=-$\frac{1}{2}$（x₀-1）²+$\frac{1}{2}$，
可知x₀=1時(shí)，函數(shù)值為$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（2）方程f（x）-$\frac{a}{x}$+x=mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，
即為lnx+x=mx有唯一解，
即m=1+$\frac{lnx}{x}$，
設(shè)g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)e＜x＜e²時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
g（x）在x=e處取得最大值g（e）=1+$\frac{1}{e}$，
g（1）=1，g（e²）=1+$\frac{2}{{e}^{2}}$，g（1）＜g（e²），
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m=1+$\frac{1}{e}$或1≤m＜1+$\frac{2}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在圖象上某點(diǎn)處的切線的斜率就是在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，考查構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，此題是中檔題．