考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）由
f′(x)=，g（x）=lnx+
，其定義域?yàn)椋?，+∞），得
g′(x)=-=
，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g（x）在定義域內(nèi)的最小值．
（2）由g（a）=lna+
，a＞0，得lna＜g（x）對任意x＞0都成立，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，e）．
（3）由已知得g（
）=ln
+x=-lnx+x，x＞0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-g（
）=2lnx+
-x，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=g（
）；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＞g（
）；當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜g（
）．
解答：
解：（1）∵f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x），
∴
f′(x)=，g（x）=lnx+
，其定義域?yàn)椋?，+∞），
g′(x)=-=
，x＞0，
由g′（x）=0，得x=1，由g′（x）＞0，得x＞1，
由g′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)有最小值為g（x）
min=g（1）=1．
（2）∵g（x）=lnx+
，x＞0，∴g（a）=lna+
，a＞0，
∵g（a）-g（x）＜
對任意x＞0都成立，
∴l(xiāng)na+
-g（x）＜
對任意x＞0都成立，
即lna＜g（x）對任意x＞0都成立，
∴l(xiāng)na＜g（x）
min=lne，∴0＜a＜e，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，e）．
（3）∵g（x）=lnx+
，x＞0，
∴g（
）=ln
+x=-lnx+x，x＞0，
設(shè)h（x）=g（x）-g（
）=lnx+
-（-lnx+x）=2lnx+
-x，x＞0，
則
h′(x)=--1=-
=-
，x＞0，
顯然h′（x）≤0在x∈（0，+∞）恒成立，∴h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
又h（1）=0，∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）=0，即g（x）=g（
），
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞g（
），
∴當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜g（
）
綜上所述：當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=g（
）；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＞g（
）；
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜g（
）．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查兩數(shù)大小的討論，解題時(shí)要注意分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．
