Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f′（x）是奇函數(shù)．
（1）求b、c的值；
（2）求g（x）在區(qū)間[-3，2]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f′（x），從而得到g（x），由g（x）為奇函數(shù)，可得g（-x）=-g（x）總成立，從而可求出b，c值；
（2）由（1）寫出g（x），求g′（x），由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，由此可得到極值求出端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求解函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，g（x）=f（x）-f′（x）=x³+bx²+cx-3x²-2bx-c=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c，
因?yàn)間（x）為奇函數(shù)，所以g（-x）=-g（x），
即-x³+（b-3）x²-（c-2b）x-c=-[x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c]，
也即2（b-3）x²=2c，
所以b=3，c=0．
（2）由（1）知，g（x）=x³-6x，
g′（x）=3x²-6=3（x+

2

）（x-

2

），令g′（x）=0，得x=-

2

或x=

2

，
當(dāng)x＜-

2

或x＞

2

時，g′（x）＞0，當(dāng)-

2

＜x＜

2

時，g′（x）＜0，
所以g（x）在（-∞，-

2

），（

2

，+∞）上單調(diào)遞增，在（-

2

，

2

）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=-

2

時，g（x）取得極大值g（-

2

）=4

2

；
當(dāng)x=

2

時，g（x）取得極小值g（

2

）=-4

2

，
又g（-3）=27-18=9，
g（2）=8-12=-4．
則g（x）在區(qū)間[-3，2]上的最大值為9，最小值為-4

2

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值及函數(shù)的奇偶性，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x₀處取得極值的充要條件是f′（x₀），且導(dǎo)數(shù)在x₀左右兩側(cè)異號．利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，不可忽視端點(diǎn)的函數(shù)值．