Question

在半徑為R的圓內(nèi)接正六邊形內(nèi)，依次連接各邊的中點，得一正六邊形，又在這一正六邊形內(nèi)，再依次連接各邊的中點，又得一正六邊形，這樣無限地繼續(xù)下去，求：
（1）前n個正六邊形的周長之和S_n；
（2）所有這些正六邊形的周長之和S．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知表示正六邊形周長的數(shù)列：6R，6R•

3

2

，6R•(

3

2

)2，6R•(

3

2

)3，6R•(

3

2

)n-1，由此能夠求出前n個正六邊形周長的和與所有這些正六邊形周長的和．

解答：解：如圖，半徑為R的圓內(nèi)接正六邊形的周長為6R，
設(shè)C為AB的中點，連接OC，OB，則OC⊥AB．
∴OC=CD=R•sin60°=

3

2

R．
第二個正六邊形的周長=6R•

3

2

．
同理可得
第三個正六邊形的周長=6R•(

3

2

)2，
第四個正六邊形的周長=6R•(

3

2

)3，
于是可以得到一個表示正六邊形周長的數(shù)列：
6R，6R•

3

2

，6R•(

3

2

)2，6R•(

3

2

)3，6R•(

3

2

)n-1，
①前n個正六邊形周長的和Sn=6R+6R•

3

2

+6R•(

3

2

)2+…+6R•(

3

2

)n-1=6R[1+

3

2

+(

3

2

)2+…+(

3

2

)n-1]=6R•

1-( 3 2 )n

1- 3 2

=12(2+

3

)[1-(

3

2

)n]R．
②所有這些正六邊形周長的和S=

6R

1- 3 2

=

12R

2- 3

=12(2+

3

)R．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和運用，解題時要注意歸納、總結(jié)能力的培養(yǎng)．