Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．求直線被圓C截得的弦長最小時(shí)l的方程．（　　）

• A、x-2y-1=0
• B、2x-y-5=0
• C、2x+y-7=0
• D、x+2y-5=0

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：由A到圓心的距離d小于圓的半徑，判斷得到點(diǎn)A在圓內(nèi)，故直線l與圓C所截得的弦長最小時(shí)，為與直徑AC垂直的弦，故連接AC，過A作AC的垂線，此時(shí)的直線與圓C相交于B、D，BD為直線被圓所截得的最短弦長，由A與C的坐標(biāo)求出直線AC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，求出直線BD的斜率，再由A的坐標(biāo)，寫出直線BD的方程，即為所求的直線l的方程．

解答： 解：∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，
∴圓心C（1，2），半徑r=5，
∵點(diǎn)A（3，1）與圓心C（1，2）的距離d=

5

＜5，
∴A點(diǎn)在C內(nèi)，
連接AC，過A作AC的垂線，
此時(shí)的直線與圓C相交于B、D，BD為直線被圓所截得的最短弦長，…（8分）．
∵直線AC的斜率k_AC=-

1

2

，…（10分）
∴直線BD的斜率為2，
則此時(shí)直線l方程為：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．…（12分）
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及恒過定點(diǎn)的方程，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)與圓位置的判斷，兩點(diǎn)間的距離公式，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，以及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，把直線l的方程適當(dāng)變形為m（2x+y-7）+x+y-4=0是解第一問的關(guān)鍵，連接AC，過A作AC的垂線，此時(shí)的直線與圓C相交于B、D，BD為直線被圓所截得的最短弦長是解第二問的關(guān)鍵．