【題目】已知橢圓E： （a﹥b﹥0）的一個焦點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)是正三角形的三個頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】試題分析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.第（Ⅰ）問，利用點(diǎn)在橢圓上，列出方程，解出b的值，從而得到橢圓E的方程；第（Ⅱ）問，利用橢圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

試題解析：（Ⅰ）由已知，a=2b.

又橢圓過點(diǎn)，故，解得.

所以橢圓E的方程是.

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為， ，

由方程組得，①

方程①的判別式為，由，即，解得.

由①得.

所以M點(diǎn)坐標(biāo)為，直線OM方程為，

由方程組得.

所以.

又

.

所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線 的焦點(diǎn)為,過拋物線上的動點(diǎn)（除頂點(diǎn)外）作的切線交軸于點(diǎn).過點(diǎn)作直線的垂線（垂足為）與直線交于點(diǎn).

（Ⅰ）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求線段的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為.

（Ⅰ）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求， 的值；

（Ⅱ）若， ，且.

（i）求的值；

（ii）對于數(shù)列和，滿足關(guān)系式， 為常數(shù)，且，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，且對任意x＞0，都有f′(x)＞.

(1)判斷函數(shù)F(x)＝在(0，＋∞)上的單調(diào)性；

(2)設(shè)x1，x2∈(0，＋∞)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

(3)請將(2)中結(jié)論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點(diǎn)P(1,0)作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y＝x上時，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e－2<f(x0)<2－2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是由個實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于，且所有數(shù)的和為零，記為所有這樣的數(shù)表組成的集合，對于，記為的第行各數(shù)之和（剟 ），為的第列各數(shù)之和（剟），記為， ， ， ， ， ， ， 中的最小值．

（）對如下數(shù)表，求的值．

（）設(shè)數(shù)表形如：

求的最大值．

（）給定正整數(shù)，對于所有的，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2017·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1.現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB，AC.

(1)在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD∥平面MPC?

(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊的中點(diǎn)時，求點(diǎn)B到平面MPC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，且， .

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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同步練習(xí)冊答案