【題目】如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，且， .

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面.據(jù)此有，結(jié)合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.

(Ⅱ)取的中點(diǎn)為， 的中點(diǎn)為，連接，以的方向分別為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，據(jù)此可得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，據(jù)此計(jì)算可得二面角的余弦值為.

法2：若以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)，則面的法向量面的法向量，計(jì)算可得為鈍角，則余弦值為.

試題解析：

（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，∴.

又∵平面平面，∴平面.

又∵平面，∴.

∵， ，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）取的中點(diǎn)為， 的中點(diǎn)為，連接

易得底面，

以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方形的邊長為2，可得， ， ，

設(shè)平面的一個法向量為

而，

即

取得

設(shè)平面的一個法向量為

而，

則即取得

由圖知所求二面角為鈍角

故二面角的余弦值為.

法2：若以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)，如圖，

不妨設(shè)正方形的邊長為2

可得面的法向量

面的法向量

由圖可得為鈍角

∴余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E： （a﹥b﹥0）的一個焦點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)是正三角形的三個頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為， 的坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)， 軸.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過的直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)，在橢圓上是否存在一點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)求證：存在唯一的，使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為；

(Ⅲ)比較與的大小，并加以證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等比數(shù)列中， ， 成等差數(shù)列；數(shù)列中的前項(xiàng)和為， .

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市教育局對該市普通高中學(xué)生進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測試，試卷滿分120分，現(xiàn)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽查了10名學(xué)生的成績，其莖葉圖如下圖所示：

（1）已知10名學(xué)生的平均成績?yōu)?8，計(jì)算其中位數(shù)和方差；

（2）已知全市學(xué)生學(xué)習(xí)成績分布服從正態(tài)分布，某校實(shí)驗(yàn)班學(xué)生30人.

①依據(jù)（1）的結(jié)果，試估計(jì)該班學(xué)業(yè)水平測試成績在的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；

②為參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)知識競賽，該班決定推薦成績在的學(xué)生參加預(yù)選賽若每個學(xué)生通過預(yù)選賽的概率為，用隨機(jī)變量表示通過預(yù)選賽的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

正態(tài)分布參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在小明的婚禮上，為了活躍氣氛，主持人邀請10位客人做一個游戲.第一輪游戲中，主持人將標(biāo)有數(shù)字1,2，…，10的十張相同的卡片放入一個不透明箱子中，讓客人依次去摸，摸到數(shù)字6,7，…，10的客人留下，其余的淘汰，第二輪放入1,2，…，5五張卡片，讓留下的客人依次去摸，摸到數(shù)字3,4,5的客人留下，第三輪放入1,2,3三張卡片，讓留下的客人依次去摸，摸到數(shù)字2,3的客人留下，同樣第四輪淘汰一位，最后留下的客人獲得小明準(zhǔn)備的禮物.已知客人甲參加了該游戲.

（1）求甲拿到禮物的概率；

（2）設(shè)表示甲參加游戲的輪數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為的正半軸，取相同的長度單位建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)與圓的交點(diǎn)為， 與軸的交點(diǎn)為，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)，在中， ，周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）記第（2）問所求的定點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上的一個動點(diǎn)，試根據(jù)面積的不同取值范圍，討論存在的個數(shù)，并說明理由.

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