已知函數(shù)f(x)=
1
2
cos2x+sinxcosx-
1
2
sin2x

(1)求f(x)的最小正周期、對稱軸方程
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間
(3)求f(x)在區(qū)間[-
π
8
π
2
]
的最大值和最小值.
分析:利用二倍角公式,平方關(guān)系,兩角和的正弦函數(shù),化簡函數(shù)f(x)=
1
2
cos2x+sinxcosx-
1
2
sin2x
,為一個角的一個三角函數(shù)的形式,(1)直接求出最小正周期,對稱軸方程
(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
(3)利用[-
π
8
,
π
2
]
求出0≤2x+
π
4
4
,然后求出函數(shù)的最值.
解答:解:f(x)=
1
2
cos2x+sinxcosx-
1
2
sin2x=
1
2
cos2x+
1
2
sin2x=
2
2
sin(2x+
π
4
)

(1)T=
2

由得2x+
π
4
=
π
2
+kπ(k∈Z)
∴對稱軸為x=
π
8
+
1
2
kπ(k∈Z)

(2)由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
π
2
+2kπ(k∈Z)
-
8
+kπ≤x≤
π
8
+kπ(k∈Z)

π
2
+2kπ≤2x+
π
4
2
+2kπ(k∈Z)
π
8
+kπ≤x≤
8
+kπ(k∈Z)

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[-
8
+kπ,
π
8
+kπ](k∈Z)
,
單調(diào)減區(qū)間為[
π
8
+kπ,
8
+kπ](k∈Z)

(3)∵x∈[-
π
8
,
π
2
]
-
π
4
≤2x≤π
,則0≤2x+
π
4
4

當(dāng)2x+
π
4
=
π
2
x=
π
8
時,f(x)有最大值
2
2

當(dāng)2x+
π
4
=
4
x=
π
2
時,f(x)有最小值-
1
2
點(diǎn)評:題考查三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性,考查計算能力,此類題目的解答,關(guān)鍵是基本的三角函數(shù)的性質(zhì)的掌握熟練程度,是中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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