Question

19．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，α=∠BAD，（1+tanα）（1+tanβ）=2，cosC=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求∠ADB的值；
（Ⅱ）若BD=2，DC=7，求AB邊的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知可求tanα+tanβ=1-tanαtanβ，進(jìn)而利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan∠ADB=-1，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可得解．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin∠DAC的值，由正弦定理可求AD的值，進(jìn)而利用余弦定理即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵（1+tanα）（1+tanβ）=2，
∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ，
∴tan∠ADB=-tan（B+α）=-$\frac{tanB+tanα}{1-tanBtanα}$=-1，
∴∠ADB=$\frac{3π}{4}$…4分
（Ⅱ）∵cosC=$\frac{3}{5}$，可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4}{5}$，…6分
∴sin∠DAC=sin（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinC+cosC）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，…8分
∵由$\frac{DC}{sin∠DAC}$=$\frac{AD}{sinC}$，可得：AD=$\frac{DC•sinC}{sin∠DAC}$=$\frac{7×\frac{4}{5}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=4$\sqrt{2}$，…10分
∴AB²=BD²+AD²-2BD×AD×cos∠ADB=52，
∴解得：AB=2$\sqrt{13}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正切函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．