Question

8．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=0且f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）的表達(dá)
（2）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）
（3）若g（t）+m≥0對(duì)t∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出二次函數(shù)的一般形式后，代入f（x+1）=f（x）+x+1，化簡(jiǎn)后根據(jù)多項(xiàng)式相等，各系數(shù)相等即可求出a，b及c的值，即可確定出f（x）的解析式；
（2）對(duì)稱軸x=-$\frac{1}{2}$，討論區(qū)間與對(duì)稱軸的位置關(guān)系，從而求最小值．
（3））由g（t）+m≥0對(duì)t∈R恒成立，可得-m≤g（t）_min，由（2）可知g（t）_min=-$\frac{1}{8}$，問題得以解決．

解答 解：（1）令f（x）=ax²+bx+c，（a≠0）
代入f（x+1）=f（x）+x+1，
得：a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+x+1，
∴（2a+b）x+a+b=（b+1）x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=b+1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$
又∵f（0）=c=0
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x，
（2）由（1）可得f（x）的對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，
①當(dāng)t+1≤-$\frac{1}{2}$，即t≤-$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞減，
g（t）=f（x）_min=f（t+1）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+1，
②-$\frac{1}{2}$＜t+1且t＜-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{3}{2}$＜t＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[t，-$\frac{1}{2}$）遞減，在（-$\frac{1}{2}$，t+1]遞增，
∴g（t）=f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{8}$，
③t≥-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞增，
∴g（t）=f（x）_min=f（t）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t，
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+1，t≤-\frac{3}{2}}\\{-\frac{1}{8}，-\frac{3}{2}＜t＜-\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}t．t≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
（3）∵g（t）+m≥0對(duì)t∈R恒成立，
∴-m≤g（t）_min，
由（2）可知g（t）_min=-$\frac{1}{8}$，
∴-m≤-$\frac{1}{8}$，
∴m≥$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．